MATHEMATICS FORMULA

สูตรคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6

การจัดหมู่

หมายถึง การนำสิ่งของที่มีความแตกต่างกันทั้งหมดหรือเพียงบางส่วนมาจัดหมู่ โดยไม่ถือตำแหน่งหรือลำดับก่อนหลังเป็นสำคัญ

จำนวนวิธีจัดหมู่ของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด ให้มีหมู่ละ r สิ่ง (r<n หรือ r=n) เท่ากับ n! / (n-1)! . r! วิธี หรือ C(n, r) = n! / (n-1)! . r!

ตัวอย่าง มีดินสอ 12 แท่ง ซึ่งมีสีแตกต่างกันทั้งหมด ต้องการหยิบทีละ 5 แท่ง จงหาวิธีที่แต่ละครั้งในการหยิบมา จะต้องมีดินสอสีเขียวอยู่ด้วยเสมอ

วิธีทำ จากโจทย์ แสดงว่าจะสามารถเลือกหยิบสีอื่นๆ ได้อีกเพียง 4 แท่งจากปากกาทั้งหมด 11 แท่งที่เหลือ

จะได้ว่า จำนวนวิธีในการหยิบ = 11! / (11-4)! . 4! = 11 . 10 . 9 . 8 / 4 . 3 . 2 . 1 วิธี

ดังนั้น จำนวนวิธีในการหยิบ = 330 วิธี

การแบ่งสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมดออกเป็นกลุ่มๆ

การแบ่งสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดออกเป็นกลุ่มๆ โดยที่

กลุ่มที่ 1 มีสิ่งของอยู่ n1 สิ่ง

กลุ่มที่ 2 มีสิ่งของอยู่ n2 สิ่ง

กลุ่มที่ 3 มีสิ่งของอยู่ n3 สิ่ง

กลุ่มที่ k มีสิ่งของอยู่ nk สิ่ง

เมื่อ n = n1 + n2 + n3 + … + nk

ซึ่งการแบ่งสิ่งของเหล่านี้ แบ่งเป็นกรณี ได้ดังนี้

1. ถ้าไม่มีสิ่งของในกลุ่มไหนเท่ากันเลย จำนวนวิธีที่จะแบ่งสิ่งของเหล่านี้ ทำได้ [n! / n1! . n2! . n3! . … . nk!] วิธี

2. ถ้าสิ่งของที่นั้นมีจำนวนเท่ากันทุกกลุ่ม กลุ่มละ m สิ่ง แต่ละกลุ่มมีลักษณะแตกต่างกัน จะได้จำนวนวิธีที่จะแบ่งสิ่งของ = n! / (m!)kวิธี

3. ถ้าสิ่งของมีจำนวนเท่ากันทุกกลุ่ม กลุ่มละ m สิ่ง และแต่ละกลุ่มมีลักษณะเหมือนกัน จำนวนวิธีที่จะแบ่งได้ คือ n! / (m!)k . k! วิธี

4. ถ้าจะเลือกมาจัดหมู่แต่ละประเภทเป็นจำนวน r1, r2, r3, …, rk ตามลำดับแล้ว จำนวนวิธีในการจัดหมู่ทั้งหมด เท่ากับ C(n1, r1) . C(n2, r2) . C(n3, r3) . … . C(nk, rk)

ตัวอย่าง ถ้าต้องการแบ่งขนม 40 ชิ้น ใส่ลงในถุง โดยแต่ละถุงมี 5, 7, 12 และ 16 ชิ้น จะสามารถแบ่งได้กี่วิธี

วิธีทำ จากโจทย์ ตรงตามข้อ 1

n! = 40!

n1! = 5! , n2! = 7! , n3! = 12! , n4! = 16!

ดังนั้น จำนวนวิธีที่จะแบ่งขนม ทำได้ = 40! / 5! . 7! . 12! . 16! วิธี

การแบ่งสิ่งของที่เหมือนกันทั้งหมดออกเป็นกลุ่มๆ

แบ่งเป็นกรณีได้ ดังนี้

1. กำหนดให้มีสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งเหมือนกันทั้งหมด ต้องการแบ่งให้คน 1 คน สามารถทำได้

1a. ให้อย่างน้อย 1 ชิ้น จะทำได้ทั้งหมด n วิธี

1b. ไม่ให้เลยสักชิ้น จะทำได้ n+1 วิธี

2. กำหนดให้มีสิ่งของ n สิ่ง ต้องการแบ่งให้คน r คน สามารถทำได้

2a. แต่ละคนได้รับการแบ่งคนละ n1, n2, n3, … , nr ชิ้น ตามลำดับ จะแบ่งสิ่งของทั้งหมดหรือไม่ก็ได้ จะสามารถแบ่งได้ 1 วิธี

2b. การแบ่งโดยแต่ละคนได้รับสิ่งของอย่างน้อยคนละ 1 ชิ้นและแบ่งสิ่งของให้หมดจะทำได้ C(n-1, r-1) วิธี

2c. การแบ่งสิ่งของให้หมด โดยแต่ละคนจะได้รับคนละกี่ชิ้นก็ได้ ทำได้ C(n+r-1, r-1) วิธี

ตัวอย่าง ถ้ามีดินสออยู่ 20 แท่งที่เหมือนกัน แจกให้คน 10 คน โดยจะต้องแบ่งดินสอให้ทั้งหมด และแบ่งให้คนละกี่แท่งก็ได้ (บางคนไม่ได้รับก็ได้) จะสามารถทำได้กี่วิธี

วิธีทำ จากโจทย์ จะเห็นว่า ตรงกับข้อ 2c

จำนวนวิธีแจกดินสอ = C(20+10-1, 10-1) = C(29, 9)

= 29! / (29-9)! . 9! = 29! / 20! . 9!

= 29 . 13 . 23 . 11 . 21 . 5

ดังนั้น จำนวนวิธีแจกดินสอ = 29 . 13 . 23 . 11 . 21 . 5

การเข้าคู่กันของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด

การเข้าคู่กันของสิ่งของที่แตกต่างกัน จะพิจารณาอยู่ 4 ลักษณะ คือ

1. อะไรคู่กับอะไร

2. อะไรคู่กับอะไร และอะไรอยู่ด้านซ้าย อะไรอยู่ด้านขวา

3. อะไรคู่กับอะไร และการจัดลำดับว่าเป็นคู่ที่เท่าใด

4. อะไรคู่กับอะไร อะไรอยู่ด้านซ้าย อะไรอยู่ด้านขวา การจัดลำดับว่าเป็นคู่ที่เท่าใด

การหาจำนวนวิธีในการเข้าคู่กันของสิ่งของ แบ่งเป็นกรณี ได้ดังนี้

1. การเข้าคู่กันของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งสองฝ่าย โดยที่จำนวนชิ้นเท่ากัน สมมติให้มีสิ่งของที่แตกต่าง 2 ฝ่าย ฝ่ายละ n ชิ้น จำนวนวิธีในการเข้าคู่กันคือ

ลักษณะ 1 มี n! วิธี

ลักษณะ 2 มีทั้งหมด n! . 2n วิธี มาจาก

i. อะไรคู่กับอะไร มี n! วิธี

ii. อะไรอยู่ซ้าย ขวา มี 2n วิธี

ลักษณะ 3 มีทั้งหมด (n!)2 วิธี มาจาก

i. อะไรคู่กับอะไร มี n! วิธี

ii. จัดลำดับว่าเป็นคู่ที่เท่าใด มี n! วิธี

ลักษณะ 4 มีทั้งหมด 2n . (n!)2 วิธี มาจาก

i. อะไรคู่กับอะไร มี n! วิธี

ii. อะไรอยู่ซ้าย ขวา มี 2n วิธี

iii. จัดลำดับว่าเป็นคู่ที่เท่าใด มี n! วิธี

2. การเข้าคู่กันของสิ่งของที่แตกต่างกันสองฝ่าย โดยที่จำนวนชิ้นไม่เท่ากัน สมมติให้มีสิ่งของที่แตกต่างกัน 2 ฝ่าย โดยฝ่ายหนึ่งมีอยู่ n ชิ้น ส่วนอีกฝ่ายมี r ชิ้น ซึ่งในกรณีนี้ จะสามารถเข้าคู่ได้เพียง r คู่ เท่านั้น จำนวนวิธีนากรเข้าคู่กันของสิ่งของ มีดังนี้

ลักษณะ 1 มี P(n, r) วิธี

ลักษณะ 2 มีทั้งหมด P(n, r) . 2r วิธี มาจาก

i. อะไรคู่กับอะไร มี P(n, r) วิธี

ii. อะไรอยู่ซ้าย ขวา มี 2r วิธี

ลักษณะ 3 มีทั้งหมด P(n, r) . r! วิธี มาจาก

i. อะไรคู่กับอะไร มี P(n, r) วิธี

ii. จัดลำดับว่าเป็นคู่ที่เท่าใด มี r! วิธี

ลักษณะ 4 มีทั้งหมด 2r . P(n, r) . r! วิธี มาจาก

i. อะไรคู่กับอะไร มี P(n, r) วิธี

ii. อะไรอยู่ซ้าย ขวา มี 2r วิธี

iii. จัดลำดับว่าเป็นคู่ที่เท่าใด มี r! วิธี

ตัวอย่าง นักกีฬา 8 คน ต้องการจับคู่กันออกกำลังกาย จงหาจำนวนวิธีในการจับคู่ ถ้า

1. สนใจเพียงใครคู่กับใครเท่านั้น

2. สนใจวาใครคู่กับใคร และใครลงสนามด้านใดบ้าง

3. สนใจใครคู่กับใคร และลำดับคู่ที่เท่าไหร่

4. สนใจว่าใครคู่กับใคร อยู่ด้านใดของสนาม และเป็นคู่ที่เท่าไหร่

วิธีทำ

ดังนั้น

1. สนใจเพียงใครคู่กับใครเท่านั้น จะทำได้ 8! / 24 . 4! วิธี

2. สนใจวาใครคู่กับใคร และใครลงสนามด้านใดบ้าง จะทำได้ 8! / 4! วิธี

3. สนใจใครคู่กับใคร และลำดับคู่ที่เท่าไหร่ จะทำได้ 8! / 24 วิธี

4. สนใจว่าใครคู่กับใคร อยู่ด้านใดของสนาม และเป็นคู่ที่เท่าไหร่ จะทำได้ 8! วิธี

ทฤษฎีบททวินาม (Binomial Theorem)

จากสูตรการคูณสำหรับการกระจายทวินาม จะได้ว่า ทวินาม (a+b)n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ คือ การนำ (a+b) มาคูณกันจำนวน n วงเล็บ เช่น (a+b)4 = (a+b) . (a+b) . (a+b) . (a+b)

แต่ถ้าการกระจายนั้นมีค่า n มากๆ ก็จะทำให้หาค่าได้ยากขึ้น ดังนั้น เราจึงต้องใช้ทฤษฎีบททวินามช่วยในการกระจาย

สามเหลี่ยมของปาสคาล (Pascal’s triangle)

เมื่อพิจารณาการกระจายทวินาม (a+b)n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ จะได้